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Diskrete Mathematik

Was ist eigentlich "diskret" an "Diskrete Mathematik"?
Mathematik, Diskrete Mathematik
Datum: 05.03.2019 03:37, Benutzer 26884Antwort:
Dieses "diskret" hat nichts mit "Diskretion" zu tun, sondern mit der Bestimmtheit (genauer gesagt: "Abzählbarkeit") von Werten. Hat es der Mathematiker in seinem Aufgabengebiet *ausschließlich* mit eindeutig bestimmbaren Werten zu tun, wie z.B. Primzahlen, Natürlichen Zahlen oder den Werten eines Würfels, dann kann man von diskreter Mathematik sprechen. Die Anzahl an Werten und Objekten, mit denen man arbeitet ist entweder begrenzt und genau definiert, oder sie ist unendlich aber "abzählbar". Abzählbar ist dabei das Gegenteil von kontinuierlich bzw. stetig: zwischen zwei natürlichen Zahlen gibt es immer eine genau bestimmbare Anzahl an "Zwischenwerten" bzw. Elementen. (Bsp: zwischen 4 und 6 gibts nur die 5). Das macht die Menge abzählbar, auch wenn es unendliche viele natürliche Zahlen selbst gibt. Für reelle Zahlen trifft dies nicht zu, egal welche zwei Werte man wie wählt, es gibt immer unendliche viele Werte dazwischen. Damit sind die reellen Zahlen nicht abzählbar. Diskrete Mathematik beschäftigt sich nur mit Aufgaben, bei denen diese "Abzählbarkeit" gegeben ist.

Ein Gedankenexperiment kann als Veranschaulichung für diskrete Mathematik dienen, und zwar das Unendlichkeitshotel:

Nehmen wir an, es gäbe ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern. Dann kann eine Gästegruppe, egal wie groß, jederzeit Zimmer bekommen. Es können sogar unendlich viele Gästegruppen mit begrenter Größe Zimmer bekommen. Man fängt einfach bei zimmer Z=1 an, und jeder weitere gast jeder weiteren Gruppe bekommt das Zimmer Z+1. Auf diese weise kann auch eine einzelne Gruppe mit undendlich vielen Gästen untergebracht werden: Gast Nr. g bekommt also Zimmer Nr.  Z(g) = g.  Wichtig ist jedoch, dass jedem Gast eine eindeutige Zimmernummer zugewiesen werden kann. Problem: sind bereits unendlich viele Zimmer belegt, gibt es kein freies Zimmer mehr. Ein weiterer Gast kann also nicht einfach in Zimmer "unendlich+1" einziehen ;-)

Jetzt Fall 1: Angenommen, das Hotel hat bereits unendlich viele Zimmer vergeben. Nun kommt ein Bus mit -sagen wir- 20 Gästen. Kein Problem: Das Hotel weist alle eingecheckten Gäste an, jeweils 20 Zimmer weiter zu ziehen. Dadurch werden die Zimmer 1 bis 20 für die neuen Gäste frei, und jeder erhält seine (neue und eindeutige) Zimmernummer:  Z(g_alt) = Z(g_alt)+20;  Z(g_neu) = g_neu.

Fall 2: Dummerweise kommt noch ein Bus an Gästen, allerdings ein Bus mit undendlich vielen Gästen. Lassen sich diese auch noch unterbringen?

Das ist ein Beispiel (genannt "Hilberts Hotel") aus der Spieltheorie und fällt unter die diskrete Mathematik.

Wer für Fall 2 die Lösung findet, kann sich gerne mit Fall 3 beschäftigen: jetzt kommen unendlich viele Busse mit jeweils unendlich vielen Gästen. Immer noch machbar?
+ 8 weitere Antworten:
Datum: 09.03.2019 20:06

Diskret ist das Gegenteil von kontinuierlich und bedeutet, dass nur mit ganz bestimmten, z.B. ganzzahligen Werten, gerechnet wird (z.B. in der Kombinatorik). Differential- und Integralrechnung sind dagegen kontinuierlich, jeder beliebige Zwischenwert kann eingenommen werden. Beispiel aus der Physik: Das elektromagnetische Spektrum einer Glühlampe ist kontinuierlich, jede Wellenlänge (Farbe) ist vertreten, nicht so bei einer Leuchtstoffröhre, wo je nach Gassorte wegen der diskreten Energiezustände der Elektronen (siehe auch Bohrsches Atommodell) nur ganz bestimmte Wellenlängen vorkommen.


Datum: 15.03.2019 19:32, Benutzer: 102664Diskrete Mathematik hat nichts mit dem umgangspralichen "diskret" zu tun.
Hier handelt es sich um "Diskrete" mathematische Räume.
Die Ausgangsfunktion sind Natürliche Zahlen, das Ziel Reelle.
Sie kommt überwiegend in der Stochastik vor.
Beipiel:
Es werden 80 Personen (nat.Zahl) zum Geschmack einer Zahnpasta befragt.
65 sagen sagen "schmeckt mir".
Somit berechne 65 von 80, also 65/80=0,8125 mal 100 und Du erhältst 81,25%.
Die Befragten sind aus der Menge der nat.Zahlen (Du wirst ja nie 32,4 Personen befragen), das Ergebnis der Reellen Zahlen.
Ich hoffe das hilft.
Gruß Wolfgang
Datum: 16.03.2019 20:18, Benutzer: 111280Klassische Mathematik und diskrete Mathematik lässt sich nicht klar abgrenzen, sie Vorlesungen zu diskreter Mathematik behandeln großteils auch die Themen der allgemeinen Mathematik. Es wird allerdings der Schwerpunkt verstärkt darauf gelegt, welche Methoden bei EDV-Systemen zum Einsatz kommen. Das markanteste Thema der diskreten Mathematik sind die Differenzengleichungen, die bei digitalen Systemen wie z.B.: Abtastregelungen verstärkt zur Anwendung kommen.
Datum: 24.03.2019 09:44, Benutzer: 302706

Hallo,
die diskrete Mathematik
als Zweig der Mathematik befasst sich mit mathematischen Strukturen, die endlich oder abzählbar sind. Im Gegensatz zu anderen Gebieten wie der Analysis, die sich mit kontinuierlichen Strukturen beschäftigt, werden in der diskreten Mathematik Begriffe wie Stetigkeit nicht gebraucht. Anschaulich kann man sich den Begriff "diskret" als "eckig" verdeutlichen.

Datum: 29.03.2019 16:18, Benutzer: 42143Die betrachteten Werte sind "gestuft", wie bei den ganzen Zahlen und nicht kontinuierlich wie bei den reellen Zahlen. So gehört etwa die Kombinatorik zur Diskreten Mathematik. Die Kombinatorik beantwortet die Frage, wieviele Kombinationen von 6 aus 49 Zahlen es gibt.
Datum: 08.04.2019 00:57, Benutzer: 302708diskret: „unterscheidbar“, „trennbar“, „abzählbar“ bzw. „aus einem gestuften Wertevorrat entnommen“; also ganz bestimmte Werte zB kann man mit einem Würfel nur diskrete Werte wie 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 würfeln aber nicht zB 3,67 .

Das "Gegenteil" von diskret ist kontinuierlich.
Datum: 24.05.2019 16:24, Benutzer: 302917Einfach gesagt: diskret heißt abzählbar
diskrete Mathematik beschäftigt sich mit diskreten (abzählbaren Mengen). Eine Menge ist diskret (abzählbar), wenn eine Bijektion zwischen dieser Menge und der Menge der natürlichen Zahlen gebildet werden kann.
Datum: 30.10.2019 10:29, Benutzer: 304277

"Diskret" im mathematischen Sinne hat nichts mit der Bedeutung "diskret" in der Umgangssprache zu tun, wie es z.B. beim diskreten Umgang mit vertraulichen Information verwendet wird.


In der Mathematik ist "diskret" das Gegenteil von "stetig". Die diskrete Mathematik beschäftigt sich grob gesagt also punktuell mit Aussagen über einzelne, konkrete Zahlenwerte, meist sind das die natürlichen Zahlen im Gegensatz zu durchgängigen Bereichen, also Intervallen in den reellen Zahlen.


Folgen und Reihen, also Zuordnungen zu den natürlichen Zahlen, sind also diskrete Mathematik, im Gegensatz zu Funktionen über reellen Zahlen.


Ein anders Beispiel der Schulmathematik (Wahrscheinlichkeitsrechnung) wäre die Biniomialverteilung (diskret), die Zufallsvariable kann hier nur natürliche Werte annehmen - im Gegensatz zur Normalverteiling (stetig), bei der Bereichen der reellen Zahlen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden.

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